砝码的不等权组合比对和用*小二乘法求解：

    质量单位的基准器，是*个1千克砝码。但在*研究与生产实践中，需要测*的质量是各种各样的。这样，就必须配备质量从小到大、其个数*少、但能组成任意质量量值的*组砝码，这就是我们通常*说的“砝码组”  0在*组砝码中，各个砝码的质量值，是按照*定的方式与相应的**级标准砝码进行组合比对得到的。

    我国目前采用的组合比对法，基本上是沿用苏联很早以前提出的方法,对于其比对方案、误差评定方法等，都有必要再进行认真的分析和探讨，以便使之更加完善和严谨。

    下面以组合方式为5、2、2、1型的克组砝码为例进行讨论。为方便起见，在本文中约定:  以Xg00、X200、x.o.....X2、X;、X,和Xi表示名义质量为500克、200克、 200克... :.2克、;克、1克和克砝码的质量计算值;K500、K，200、  ...K2.K; .K,和K;分别为它们的名义质量修正值; X10o0 和Kp。00 0;为**级千克标准砝码的质量计算值和质量修正值;并且只讨论检定方法，而不考虑其它因素，如空气浮力等的影响。根据苏联H.M.路多著*密衡量法》和我国的有英参考资料，可以得到砝码组合比对的衡是方程组以及计算砝码质量值的公式(1、2]。

    在理想的情况下，假如X。500、  X,2 00、.......X2、X;2 、X1和X;是各个砝码的质量真值，文献[1、2]中的计算公式当然是成立的。从数学的观点来看、念有十三个未知数的十三个独立方程的解是唯*的。因此。各个砝码的质*佰可以按公式解出。但是，在测量次数有限的情况下，尤其是像l:而*说的那样，十三个砝码只进行十三次比对、没有多余的测量次数,虽然可以求出各个位码的质*估计值,但如果以这些公式为堪础来评定各个砝码在组合比对中的误差，就不太严格。在评定误差的时候，*先应该考您到残差的影响;不*要考虑到组内的影响，还要考虑训组外的影响;*后，还应注意到砝码的组合比对是不等权的。

    如何选择砝码组的组合比对方案?如何评定组合比对中各个被检砝码的检定*度?如何合理地规定各等砝码的检定*度?作者认为，在组合比对中，应在原来检定方案的基础上，适当增加独立的比对次数，并采用*小二乘法进行数据处理和误差分析，对各种可能的方案进行比较，从中找出*-个*度和效率都比较*的*佳方案来。

    关于应用*小二乘法原理对砝码的组合比对进行分析和计算，从已掌握的文献来看，早在1892年就有人提出。但是，由于计算量很大，并未得到普遍应用。随着*枝术的发展,特别是计算枝术的发展,计算机的应用日益普遍，使人们可以十分方便地解决那些过去很难计算的数学问题。这样，许多*就开始采用*小二乘法来处理砝码组合比对中的计算问题。从文献报导来看，美国等*在这方面做了许多工作，取得了*定的成绩。

    在组合比对中，比对的次数和组合的方式应根据实际情况选择，既可以把被检砝码当作*组进行组合比对，也可以按十进位单元分成的小组进行组合比对。美国D. B.Prowse和A.R.Anderson采用的是后*种方法[3]。本文拟对前*种方法进行讨论，因为它和我国目前采用的检定方法比较接近。*般来说，选择的比对方式应尽可能在天平的*大负荷下进行，以利于提*比对*度。

    十三个砝码与*个*- -级千克标准砝码进行组合比对的时候，独立的比对次数*多为34次。本文以21次为例，说明计算的方法和步骤。按照比对的方式和次序，通过适当的变换，可以得到下列的残差方程组:

求得的计算值; L、.L.....是观测值、也就检是定时*得到的a值; v{、v....为残差。

      这些观测值是在四台不同的天平上测得的，其中:

      L1~Lg是用1千克天平测量的，天平的不确定度△; =0.5毫克;

      L。~L1z是用200克天平测量的，天平的不确定度△2 =0.1毫克; :

      L1s~L17是用20克天平测量的.天平的不确定度△z =0.01毫克;

      L1R ~L21是用2克天平测量的，天平的不确定度△,=0.005毫克。

      显然、这*组测量是不等权的，在进行数据处理以前，必须先把上述不等权的残差方程组变换为等权的残差方程组，也就是把上面的残差方程组单位权化。

         在上面的克砝码组中，各砝码之间*有可能的组合方式总共为34次。为便于说明问题，作者分别对34次和14次做了计算。从计算的结果来看，在三组数据中，比对21次比较好，不*砝码的检定*度*，工作效率也*。这正是-*个好的检定方案*必须具备的条件。但是比对次数也不能太少，否则计算出来的标准误差^σ波动比较大。这是人们*不希望的。

    本文对如何应用*小二乘法来解决不等权组合比对中的数据处理和误差评定问题，提出了初步看法，方法比较严谨，检定*度也有*定程度的提*，无论是在解决工作基准组砝码的组合比对方面，还是对于合理制定各等砝码检定*度，都将有*裨益。但由于条件*限，这里只能提出处理的方法和步骤。要找出*个*佳的组合比对方案来，还必须对各种可能的组合进行计算和比较,工作量相当大。